뤼카 다항식

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 뤼카 소수
5. 황금비와의 관계 및 활용
6. 역사
참조

1. 개요

뤼카 다항식은 제2종 뤼카 수열을 이용하여 정의되는 다항식으로, 뤼카 수에서 파생된 다항식 수열이다. 뤼카 수 L_n은 뤼카 다항식 L_n(1)과 같으며, L₀=2, L₁=1을 초기값으로 하고 L_n = L_n-1 + L_n-2의 점화식을 따른다. 뤼카 수는 피보나치 수와 밀접한 관련이 있으며, 피보나치 수 F_n과의 관계식, L_n = F_n-1 + F_n+1, F_2n = L_nF_n 등이 존재한다. 뤼카 수와 피보나치 수의 비는 황금비에 수렴하며, 뤼카 수는 자연계에서도 발견된다. 뤼카 소수는 소수인 뤼카 수를 의미하며, 뤼카 수는 황금비의 거듭제곱을 연분수로 표현하는 데에도 활용된다. 뤼카 다항식은 프랑스 수학자 에두아르 뤼카의 이름을 따서 명명되었다.

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뤼카 다항식
개요
종류	정수열
수열 시작	2, 1
점화식	L(n) = L(n-1) + L(n-2)
일반항	L(n) = φ^n + (-φ)^-n
수열 값
처음 몇 개의 뤼카 수	2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...
성질
관련 개념	피보나치 수
일반화
확장	뤼카 다항식

2. 정의

뤼카 수 $L_n$ 은 초기값 $L_0 = 2$ , $L_1 = 1$ 을 가지며, 다음 점화식으로 정의된다.

: $L_n = L_{n-1} + L_{n-2}$ (단, n>1 인 자연수)

뤼카 다항식 $L_n(x)$ 은 뤼카 수의 개념을 확장한 것으로, 제2종 뤼카 수열 $V_n(P,Q)$ 에서 $V_n(2,x)$ 와 같다. 즉, 다음과 같이 정의된다.

: $L_0(x)=2$

: $L_1(x)=x$

: $L_n(x)=xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x)$

뤼카 수는 뤼카 다항식에서 $L_n(1)$ 과 같다.

3. 성질

뤼카 수는 피보나치 수와 함께 자연계에 많이 존재한다. 피보나치 수 ''F''와 뤼카 수 ''L'' 사이에는 다음과 같은 여러 관계식이 존재한다.

$L_n = F_{n-1}+F_{n+1}$
$F_{2n} = L_n F_n$
$F_n = {L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}$

같은 항 번호의 피보나치 수와 뤼카 수의 비 ''L''/''F''는 ''n''이 커짐에 따라

\sqrt{5}

에 수렴한다.

피보나치 수와 마찬가지로, 뤼카 수도 인접한 2항의 비 ''L''/''L''은 ''n''이 커짐에 따라 황금비

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

= 1.61803398…에 가까워진다.

''n''번째 뤼카 수는 다음 식으로 나타낼 수 있다.

:

L_n = \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n + \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n= \varphi^n + (1-\varphi)^n = {\varphi^n + (-\varphi)^{-n}}

여기서

\varphi

는 황금비이다.

3. 1. 일반항

뤼카 다항식의 일반항은 다음과 같다.

:

L_n(x)=\left(\frac{x+\sqrt{x^2+4}}2\right)^n+\left(\frac{x-\sqrt{x^2+4}}2\right)^n=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac n{n-k}\frac{(n-k)!}{k!(n-2k)!}x^{n-k}

여기서

\lfloor-\rfloor

는 바닥 함수이다.

특히 뤼카 수의 일반항은 다음과 같다.

:

L_n=\lfloor\varphi^n+1/2\rfloor=\varphi^n+(-\varphi)^{-n}=\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n+\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n

여기서

\varphi

는 황금비이다.

3. 2. 피보나치 수와의 관계

뤼카 수는 피보나치 수와 밀접하게 관련되어 있으며, 다음과 같은 다양한 항등식으로 연결된다.

`L_n = F_n-1 + F_n+1 = 2F_n+1 - F_n`
`L_m+n = L_m+1F_n + L_mF_n-1`
`F_2n = L_nF_n`
`F_n+k + (-1)^kF_n-k = L_kF_n`
`2F_2n+k = L_nF_n+k + L_n+kF_n`
`L_2n = 5F_n² + 2(-1)ⁿ = L_n² - 2(-1)ⁿ` , 따라서 $\lim_{n\to\infty} \frac{L_n}{F_n}=\sqrt{5}$ .
`|L_n - √5F_n| = 2/φⁿ → 0`
`L_n+k - (-1)^kL_n-k = 5F_nF_k`; 특히 `F_n = (L_n-1 + L_n+1)/5`, 따라서 `5F_n + L_n = 2L_n+1`.

또한, 같은 항 번호의 피보나치 수와 뤼카 수의 비 L_n/F_n는 n이 커짐에 따라

\sqrt{5}

에 수렴한다.^[1]

3. 3. 생성 함수

뤼카 수의 생성 함수는 다음과 같다.^[1]

:

\sum_{n=0}^\infty L_nx^n=\frac{2-x}{1-x-x^2}

뤼카 다항식의 생성 함수는 다음과 같다.^[2]

:

\sum_{n=0}^\infty L_n(t)x^n=\frac{1+x^2}{1-tx-x^2}

다음과 같이 정의한다.

:

\Phi(x) = 2 + x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty L_nx^n

직접 계산하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

:

\begin{align}\Phi(x) &= L_0 + L_1x + \sum_{n = 2}^\infty L_nx^n \\&= 2 + x + \sum_{n = 2}^\infty (L_{n - 1} + L_{n - 2})x^n \\&= 2 + x + \sum_{n = 1}^\infty L_nx^{n + 1} + \sum_{n = 0}^\infty L_nx^{n + 2} \\&= 2 + x + x(\Phi(x) - 2) + x^2 \Phi(x)\end{align}

따라서,

:

\Phi(x) = \frac{2 - x}{1 - x - x^2}

이다.

\Phi\!\left(-\frac{1}{x}\right)

는 음의 정수 인덱스를 가진 뤼카 수의 생성 함수이며,

\sum_{n = 0}^\infty (-1)^nL_nx^{-n} = \sum_{n = 0}^\infty L_{-n}x^{-n}

를 나타낸다.

:

\Phi\!\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{x + 2x^2}{1 - x - x^2}

\Phi(x)

는 다음 함수 방정식을 만족한다.

:

\Phi(x) - \Phi\!\left(-\frac{1}{x}\right) = 2

피보나치 수의 생성 함수는

:

s(x) = \frac{x}{1 - x - x^2}

이므로,

:

s(x) + \Phi(x) = \frac{2}{1 - x - x^2}

이며, 이를 통해

:

F_n + L_n = 2F_{n+1}

임을 증명할 수 있다.

또한,

:

5s(x) + \Phi(x) = \frac2x\Phi(-\frac1x) = 2\frac{1}{1 - x - x^2} + 4\frac{x}{1 - x - x^2}

를 통해

:

5F_n + L_n = 2L_{n+1}

임을 증명할 수 있다.

부분 분수 분해는 다음과 같다.

:

\Phi(x) = \frac{1}{1 - \phi x} + \frac{1}{1 - \psi x}

여기서

\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

는 황금비이고,

\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

는 그 켤레이다.

이를 사용하여 생성 함수를 증명할 수 있다.

:

\sum_{n = 0}^\infty L_nx^n = \sum_{n = 0}^\infty (\phi^n + \psi^n)x^n = \sum_{n = 0}^\infty \phi^nx^n + \sum_{n = 0}^\infty \psi^nx^n = \frac{1}{1 - \phi x} + \frac{1}{1 - \psi x} = \Phi(x)

3. 4. 음의 정수로의 확장

뤼카 수는 점화식을 이용하여 음의 정수 영역으로 확장할 수 있다. 점화식

L_{n-2}=L_{n}-L_{n-1}

을 사용하면 뤼카 수를 음의 정수로 확장할 수 있다.^[1]

5 ≤ ''n'' ≤ 5 에 대한 뤼카 수는 다음과 같다.

:-11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11

음수 n에 대한 뤼카 수열은 다음과 같다.

:1, 2, -1, 3, -4, 7, -11, 18, -29, 47, -76, 123, -199, 322, -521, ...

음수 지수를 가진 항에 대한 공식은 다음과 같다.^[1]

:

L_{-n}=(-1)^nL_n.\!

4. 뤼카 소수

뤼카 소수(prime Lucas numbers^영어)는 소수인 뤼카 수이다. 처음 몇 개의 뤼카 소수는 다음과 같다.

: 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ...

뤼카 소수의 지수는 (예: ''L''₄ = 7) 다음과 같다.

: 0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ...

만약 ''L_n''이 소수이면 ''n''은 0, 소수 또는 2의 거듭제곱이다.^[6]^[8] 그러나, ''n''이 소수여도 ''L_n''이 소수가 된다는 보장은 없다.

뤼카 소수가 무한히 많다는 추측이 있다.^[9]

현재, 가장 큰 것으로 알려진 뤼카 확률적 소수는 1,142,392개의 십진 자릿수를 가진 ''L''_5466311이다.^[5]

5. 황금비와의 관계 및 활용

뤼카 수는 황금비와 밀접하게 관련되어 있다. 뤼카 수에서 인접한 두 항의 비율 ''L''/''L''은 ''n''이 커짐에 따라 황금비 $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ = 1.61803398…에 수렴한다.^[7]

''n''번째 뤼카 수는 다음 식으로 나타낼 수 있다.

: $L_n = \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n + \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n= \varphi^n + (1-\varphi)^n = {\varphi^n + (-\varphi)^{-n}}$

여기서 $\varphi$ 는 황금비이다.^[7]

황금비의 거듭제곱은 뤼카 수를 이용한 연분수로 표현할 수 있다. 양의 정수 ''n''에 대한 연분수는 다음과 같다.^[7]

: $\varphi^{2n-1} = [L_{2n-1}; L_{2n-1}, L_{2n-1}, L_{2n-1}, \ldots]$

: $\varphi^{2n} = [L_{2n}-1; 1, L_{2n}-2, 1, L_{2n}-2, 1, L_{2n}-2, 1, \ldots]$

예를 들어,^[7]

: $\varphi^5 = [11; 11, 11, 11, \ldots]$

는 다음 수열의 극한이다.

: $\frac{11}{1}, \frac{122}{11}, \frac{1353}{122}, \frac{15005}{1353}, \ldots$

그리고

: $\varphi^6 = [18 - 1; 1, 18 - 2, 1, 18 - 2, 1, 18 - 2, 1, \ldots] = [17; 1, 16, 1, 16, 1, 16, 1, \ldots]$

는 다음 수열의 극한이다.

: $\frac{17}{1}, \frac{18}{1}, \frac{305}{17}, \frac{323}{18}, \frac{5473}{305}, \frac{5796}{323}, \frac{98209}{5473}, \frac{104005}{5796}, \ldots$

뤼카 수는 해바라기에서 피보나치 수 다음으로 두 번째로 흔하게 나타나는 패턴이다.^[7]

6. 역사

프랑스 수학자 에두아르 뤼카의 이름을 땄다.

참조

_[1] 웹사이트 Lucas Number https://mathworld.wo[...] 2020-08-11
_[2] 서적 Things to Make and Do in the Fourth Dimension Farrar, Straus and Giroux 2014-01-01
_[3] 서적 Things to Make and Do in the Fourth Dimension Farrar, Straus and Giroux 2014-01-01
_[4] 웹사이트 The Top Twenty: Lucas Number https://primes.utm.e[...] 2022-01-06
_[5] 웹사이트 Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top - Search by form http://www.primenumb[...] 2022-01-06
_[6] 문서 The Prime Glossary: Lucas prime http://primes.utm.ed[...] Chris Caldwell
_[7] 간행물 Novel Fibonacci and non-Fibonacci structure in the sunflower: results of a citizen science experiment
_[8] 웹사이트 The Prime Glossary: Lucas prime https://primes.utm.e[...] 2019-08-22
_[9] 웹인용 The Prime Glossary: Lucas prime http://primes.utm.ed[...]

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